Jeśli nie zjesz kolacji, nie dostaniesz deseru! W dwóch słowach o logice matematycznej.

,,To, co zrobiłeś było nielogiczne" - niekiedy słyszymy lub sami wypowiadamy podobne zdanie w odpowiedzi na czyjąś reakcję, która według nas była bezsensowna. Czy jednak istnieje jedno podejście do sytuacji - to logiczne bądź nie. Oczywiście, że nie! Dla jednych postawa nazwana przez nas ,,logiczną'' może być dla innych ,,nielogiczna'' (niezrozumiała). W tym poście postaram się wyjaśnić jak skonstruowana jest logika matematyczna (w ujęciu klasycznym) oraz jak często korzystamy z niej na co dzień.

Musimy najpierw poznać pewne definicje, które będą opierały się na naszej intuicji z życia codziennego. I tak - zdaniem logicznym nazywamy zdanie twierdzące, którego prawdziwość lub nie możemy stwierdzić, np. ,,Ta bluzka jest czysta''. Tu jest też moment na to, by założyć, że mamy do czynienia z sytuacjami jasnymi, to znaczy czystość bluzki jest przez wszystkich tak samo definiowane. Niestety w rzeczywistości odmienność zdania dziecka i rodziców może być powodem do sprzeczek.

Zdania logiczne możemy łączyć za pomocą spójników logicznych zapisanych w poniższej tabeli. Wszystkie omówię po kolei i zastosujemy je tworząc bardziej rozbudowane zdania, których prawdziwość będziemy mogli w prosty sposób odczytać.

Na początku przedstawię czym jest koniunkcja. Tak, jak w języku potocznym, gdy mówimy ,,na obiad zjem zupę i drugie danie'', również w języku matematyki oznacza to spałaszowanie obydwu dań. Gdy jednak powiemy ,,zjem zupę lub drugie danie", to po zjedzeniu zupy mama nie musi oczekiwać od nas, że zjemy również drugie danie. Wystarczy, że zjemy przynajmniej jeden wybrany posiłek (czyli dwa posiłki również możemy zjeść). Powyższe rozumowanie prezentują tabele, w których wartością 1 oznaczamy zdanie prawdziwe, zaś za 0 - fałszywe (takie oznaczenie w(p)=1 jest powszechnie stosowane i oznacza, że zdanie p jest prawdziwe; inaczej: jego wartość logiczna jest równa 1).

Negacja, zwana często zaprzeczeniem jest bardzo prosta w budowie. Negacją zdania ,,pójdę dziś na spacer'' jest ,,nie pójdę dziś na spacer''. Zatem zaprzeczeniem zdania prawdziwego będzie zdanie fałszywe i odwrotnie. Dla ułatwienia zaprezentowałem to w tabeli.

Implikacja (wynikanie) niesie najwięcej wątpliwości i przysparza spore trudności. Weźmy dwa zdania:

p: ,,Poświęcę dużo czasu na naukę''

q: ,,Będę miał lepsze oceny''

Nasze uczniowskie doświadczenie podpowiada, że zdanie "Jeśli poświęcę dużo czasu na naukę, to będę miał lepsze oceny" wcale nie musi być prawdziwe. Kiedy zatem wartość logiczna zdania jeśli p, to q będzie prawdziwa? Odpowiedź jest w poniższej tabeli:

Możemy uznać ją za definicję i już niczego nie wyjaśniać, ale postaram się chociaż w dwóch słowach opisać skąd wzięły się wartości w trzeciej kolumnie. Jeśli nasze zdania p i q są prawdziwe, czyli poświęciliśmy dużo czasu na naukę i mamy lepsze oceny, oznacza to, że rzeczywiście wzmożony wysiłek przyniósł nam pożądane efekty w postaci lepszych ocen. Co zatem, gdy nie poświęcimy dużo czasu na naukę? Wtedy cokolwiek byśmy nie powiedzieli, to implikacja będzie spełniona! Weźmy zdanie

,,Jeśli Michael Jackson napisze dla mnie piosenkę, to poświęcę dużo czasu na naukę.''. 

Ono jest prawdziwe! Ponieważ poprzednik implikacji (pierwsze zdanie proste) jest fałszywe (gdyż gwiazdor nie żyje), więc z fałszu może wynikać cokolwiek, a i tak implikacja będzie prawdziwa! Wymyślcie bardziej abstrakcyjne zdanie, a zrozumiecie, że przy niespełnieniu początkowego zdania rzeczywiście to, co z niego wyniknie nie ma znaczenia.

Zwróćmy uwagę na wartość 0 w drugim wierszu. Implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku - gdy następnik implikacji (zdanie q) jest fałszywe. Zdanie ,,Jeśli Michael Jackson nie żyje, to ten blog jest o tematyce sportowej'' jest nieprawdziwe.

Zdania nazywamy równoważnymi, gdy mają tę samą wartość logiczną, czyli obydwa są prawdziwe lub obydwa fałszywe. Inaczej: równoważność zdań p i q jest prawdziwa, gdy zdania p i q mają te same wartości logiczne. Przy takiej definicji zdanie ,,pani Danka pójdzie na spacer wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda'' oznacza nie tylko, że przy brzydkiej pogodzie kobieta nie pójdzie na spacer, ale również, że gdy spotkamy ją na spacerze, to zastaniemy ładną pogodę (działa to w obie strony). Bardziej matematyczny przykład może dotyczyć podzielności liczb. Mamy równoważność ,,Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 3''. Równoważność będzie więc połączeniem dwóch implikacji (muszą być spełnione implikacje w dwie strony), czyli

Podobnie jak dla pozostałych spójników logicznych, poniżej tabela z wartościami dla równoważności:

Ten post jest bardzo ważny, często będę do niego odsyłał. Mam nadzieję, że ten nadmiar teorii nikogo nie zraził. Moim celem jest zaciekawienie was matematyką, zatem na koniec zaprezentuję krótkie zadanie. 

Mama mówi do synka ,,Jeśli nie zjesz kolacji, nie dostaniesz deseru!'', po czym dziecko zjadło kolację sądząc, że powinno teraz otrzymać deser. Niestety, mama stwierdziła, że niczego takiego nie obiecała synkowi i ten musiał obejść się smakiem. Czy słusznie postąpiła?

W celu rozwiązania tej zagadki zapiszmy zdania proste składające się na tę implikację:

p: ,,Zjesz kolację''

q: ..Dostaniesz deser''

Mama wypowiedziała zdanie

W przyszłości napiszę jak przeczymy implikacjom, nam jednak ta umiejętność nie jest potrzebna. Mama nie dała synkowi deseru, bo... nie obiecała mu tego! Powiedziała co zrobi, gdy nie zje kolacji, ale nie powiedziała co się stanie, gdy to zrobi. Jeśli więc chcecie kogoś nabrać, to możecie zastosować tę metodę, z pewnością wiele osób się na to nabierze!