O tym, jak ważne jest pojęcie odległości (długości) nie muszę was przekonywać. Gdy jedziemy na wycieczkę, szukamy hotelu możliwie jak najbliżej centrum (i w cenie, która nam odpowiada). Wzywając taksówkę również chcemy, by droga, którą wybiera kierowca była możliwie jak najkrótsza (chyba, że zależy nam na czasie, czasem wtedy warto zaufać intuicji kierowcy i pojechać dłuższą trasą, by szybciej być na miejscu). Osoby, które planują loty samolotowe również wybierają takie trasy, by były one najkrótsze (i spełniały też oczywiście jeszcze inne czynniki, np. ominięcie lotu nad danym krajem czy pogoda w konkretnym miejscu i pułapie wysokości).
W matematyce pojęcie miary jest bardzo dobrze zdefiniowane. To na jego podstawie będziemy mówić o kołach i dzięki zastosowaniu odpowiedniej miary kołem nazwiemy figurę, która przypomina kwadrat! Ale do tego potrzebujemy solidnej dawki teorii!
W matematyce funkcję odległości dwóch punktów będziemy nazywać metryką i oznaczać będziemy przez d(A,B), co oznacza, że jest to funkcja dwóch zmiennych - naturalnie będziemy badać odległości pomiędzy dwoma punktami, wtedy jednym z nich będzie A, a drugim B. Funkcja d spełnia ponadto trzy własności:
Pierwsza z nich mówi, że odległość dwóch punktów jest zerowa wtedy i tylko wtedy, gdy są one sobie równe, czyli np. odległość d(2,2)=0, czyli odległość 2 od 2 na osi liczbowej wynosi 0. Druga własność funkcji d wskazuje na to, że nie jest ważna kolejność liczenia odległości i jest ona zawsze taka sama. Trzecia, to tak zwana nierówność trójkąta - w uproszczeniu: jeśli wybieramy się z miejsca A do miejsca B, to droga przez dowolny inny punkt C, który nie jest na prostej AB będzie dłuższa.
Znając już pojęcie miary (utożsamiane z odległością), możemy zastanowić się jakie znamy sposoby liczenia odległości. Dzisiaj przedstawię trzy takie funkcje - z każdą z nich spotkaliście się już w życiu codziennym. Matematyzowanie tego, z czego korzysta się na co dzień wcale nie jest takie proste! Pierwszą metryką jest metryka euklidesowa. Odległości liczymy tu ze wzoru Pitagorasa (w dużym uproszeniu!). W tej metryce ciekawie robi się dopiero w układzie współrzędnych (liczenie odległości na osi to po prostu coś, co wykonujemy bardzo naturalnie poprzez branie wartości bezwzględnej z różnicy liczb). Dla punktów A i B z układu współrzędnych, odległość w metryce euklidesowej zaznaczona jest na czerwono:
Poniższa grafika przedstawia metodę liczenia odległości d(A,B) w tej metryce korzystając ze wzoru Pitagorasa.
Druga metryka, to tzw. metryka taksówkowa. Jej nazwa wzięła się ze sposobu liczenia. Ponieważ metryka euklidesowa w życiu codziennym nie zawsze nam wystarcza (bo cóż nam z odległości z domu do szkoły w linii prostej). I tak w metryce taksówkowej odległość między punktami liczymy dodając długości przyprostokątnych ,,obudowanego'' na tych punktach trójkąta prostokątnego. Poniżej, suma czerwonych prostych to odległość w metryce taksówkowej.
Łatwo policzyć, że d(A,B) = 7 + 3 = 10.
Ostatnia metryka, którą dzisiaj poznamy jest metryka dyskretna (zero-jedynkowa). Jej budowa jest bardzo prosta - odległość dwóch punktów może być albo równa zero, albo jeden. Jeśli punkty są różne od siebie, jest to 1, gdy równe - 0. W naszym przykładzie d(A,B) = 1.
Aby móc rysować koła (ogólniej: kule) potrzebna nam jest bardzo ważna definicja kuli domkniętej (utożsamianej w R2 z kołem). Kołem o środku w O i promieniu r>0 (ozn. B(O,r)) nazywamy zbiór tych punktów X, dla których odległość (w danej metryce) jest mniejsza bądź równa promieniowi, czyli:
Kula w metryce euklidesowej będzie wyglądać dokładnie tak, jak sobie są wyobrażamy (czyli jako koło):
W metryce taksówkowej mamy coś interesującego. Kula przypomina... kwadrat! Rzeczywiście, gdy wyliczymy odległość d(X,O)=2+1=3, czyli X należy do kuli. Podobnie rozumujemy dla wszystkich innych punktów otrzymując:
Pozostała nam metryka dyskretna. Ponieważ r = 3, więc każdy punkt łącznie ze środkiem będzie miał odległość mniejszą lub równą 3, zatem w tym przypadku kulą będzie cała przestrzeń R2.
Jest jeszcze wiele innych metryk, w których kule mogą być półpłaszczyznami, odcinkami, punktami - nie ma ograniczeń! Możemy rozpatrywać nie tylko całą płaszczyznę R2, ale również jej części, np. rysować kulki w płaszczyźnie wyznaczonej przez wnętrze kwadratu, koła, itp. Istnieje metryka, w której odległością dwóch punktów jest maksimum po każdej współrzędnej. Kulą w tej metryce jest również kwadrat. Jak myślisz, jaki?
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz