Tajemnice implikacji.

Mamy karty w dwóch możliwych kolorach - niebieskim i czerwonym. Na odwrocie każdej z nich znajduje się cyfra od 0 do 9. Widząc przed sobą powyższe cztery karty musimy odwracając najmniejszą możliwą liczbę kart stwierdzić czy poniższe stwierdzenie jest prawdziwe. A brzmi ono tak:

X: ,,Każda z tych kart zawierająca parzystą liczbę z jednej strony, z drugiej strony jest czerwona.''

Wiele osób odpowiada, że należy wybrać kartę 8 oraz czerwoną (bądź też wyłącznie 8). Jest to jednak odpowiedź błędna! Aby wyjaśnić tę zagadkę, potrzebujemy kilku zagadnień teoretycznych. Podpowiedzią do tej zagadki jest tytuł tematu, który sugeruje nam, by wykorzystać własności implikacji (o której wspomniałem w tym poście). Weźmy zdanie 

A: ,,Jeśli zjem obiad, to dostanę deser''. 

Spróbujmy wyszukać w poniższych zdaniach zdanie równoważne, czyli takie, które znaczy to samo:

B: ,,Jeśli dostanę deser, to zjem obiad.''

C: ,,Jeśli dostanę deser, to nie zjem obiadu.''

D: ,,Jeśli nie dostanę deseru, to nie zjem obiadu.''

E: ,,Jeśli nie dostanę deseru, to zjem obiad.''

Załóżmy, że zdanie A jest fałszywe, czyli poprzednik implikacji jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Obiad zjemy i nie dostaniemy deseru (tak właśnie przeczymy implikacjom - zwróć uwagę na spójnik logiczny ,,i''). Rozważmy po kolei zdania B, C, D, E.

W zdaniu B, poprzednik implikacji jest fałszywy, a z fałszu może wynikać cokolwiek i implikacja i tak będzie prawdziwa (a ma być fałszywa). Zdanie B nie jest zatem równoważne zdaniu A. Podobnie zdanie C - argument jest identyczny. Tym różni się implikacja od równoważności.

Pozostały nam zdania D i E, które różnią się następnikiem implikacji. Poprzednik implikacji - zdanie ,,nie dostanę deseru'' jest prawdziwe. Zdanie proste ,,nie zjem obiadu'' ma wartość logiczną 0 (bo zdanie ,,zjem obiad'' jest prawdziwe - to założyliśmy) i tylko w takim przypadku implikacja może być fałszywa. Po tej krótkiej analizie na przykładzie dochodzimy do wniosku, że zdania A i D są równoważne, co możemy zapisać:

Bogaci w wiedzę przydatną (wszak nie konieczną) do rozwiązania zagadki, przepiszmy zdanie X w postaci implikacji i zapiszmy je równoważnie wykorzystując poznaną dzisiaj własność:

X1: ,,Jeśli karta zawiera parzystą liczbę z jednej strony, to z drugiej strony jest czerwona.''

X2: ,,Jeśli karta jest niebieska, to z drugiej strony zawiera liczbę nieparzystą.'' 

Pozwoliłem sobie pominąć ważne określenie ,,każda'', gdyż w naszym przypadku poprzez odpowiedni wybór kart łatwo będzie temu uogólnieniu dowieść. Wybierając kartę parzystą, a więc 8 możemy stwierdzić, czy twierdzenie to jest nieprawdziwe, gdy okaże się, że na jej odwrocie będzie kolor niebieski. Gdy jednak będzie tam kolor czerwony, wcale nie oznacza to, że twierdzenie jest prawdziwe. Może być przecież tak, że na odwrocie niebieskiej też może być liczba parzysta.

Odkrycie karty 3 nie da nam żadnych informacji o twierdzeniu.

Odsłaniając dodatkowo kartę czerwoną możemy natrafić na liczbę parzystą bądź nieparzystą i to jaką liczbę tam zastaniemy nie ma żadnego znaczenia, gdyż twierdzenie mamy dane w postaci implikacji!

Aby sprawdzić czy nasze twierdzenie jest prawdziwe musimy wybrać dwie karty: niebieską i tę z liczbą 8. Spójrzmy na zdanie X2 - ono jest naszą podpowiedzią. Załóżmy, że X1 jest spełnione (po odkryciu 8 mamy kolor czerwony). Możemy mieć dwie sytuacje - na odwrocie niebieskiej jest liczba nieparzysta i wtedy twierdzenie jest prawdziwe lub też na odwrocie jest liczba parzysta, co oznaczałoby, że twierdzenie nie jest prawdziwe.