Tajemnice losowości.

Pozostańmy w temacie pieniędzy, dzisiaj dowiemy się jakie tajemnice kryje za sobą rachunek prawdopodobieństwa. Przyjmijmy, że mamy rzetelną monetę, czyli taką, dla której szansa wyrzucenia orła i reszki jest równa oraz nie istnieje możliwość, by moneta zawisła w powietrzu bądź spadła na rancie. Słowem - wyrzucenie orła i reszki jest tak samo prawdopodobne. Przyjmijmy pewien zakład. Wyrzucę monetą N=10 razy, gdy wypadną trzy orły bądź trzy reszki z rzędu, to wygrywam. Jak myślisz, kto ma większą szansę na zwycięstwo?

Oczywiście, że ja! Dokładne prawdopodobieństwo wyrzucenia trzech reszek lub trzech orłów z rzędu w trakcie dziesięciu rzutów monetą wynosi 846/1024, czyli około 83%. Ostrzegam, wyjaśnienie jest dość skomplikowane, wymaga chwili skupienia! Najpierw prześledźmy jakie mamy możliwości rzutów i jak wyglądają prawdopodobieństwa wyrzucenia co najmniej trzech orłów lub reszek pod rząd dla poszczególnej liczby rzutów N. Dla ułatwienia, w dalszym rozumowaniu szacować będziemy zdarzenie przeciwne, którego prawdopodobieństwo oznaczymy przez p. Na poniższym schemacie przedstawiłem wszystkie możliwości, w których zdarzenie nie zaszło, czyli nie ma trzykrotnych powtórzeń, oznaczmy je przez g(N).

Przy naszym oznaczeniu:

g(2)=4,

g(3)=6,

g(4)=10.

Żeby zauważyć pewną prawidłowość, wykreśliłem również schemat dla N=5, czyli dla sytuacji, w której rzucamy pięciokrotnie monetą. Teraz powinno być widać jaką mamy zależność pomiędzy kolejnymi rzutami!

Aby uzyskać g(5), należy wziąć doświadczenie g(4) i jako ostatni rzut przyjąć przeciwieństwo ostatniego rzutu z g(4) - po orle przyjąć reszkę, po reszce przyjąć orła. W ten sposób uzyskaliśmy pierwsze 10 wyników. Kolejne 6 możliwości jest uzyskiwane poprzez wzięcie doświadczenia g(3) i "dopisanie" tym razem nie zdarzenia przeciwnego, lecz tych samych wyrzutów (czyli RR lub OO) w zależności od tego co stało na końcu rzutu - tak, by nie uzyskać RRR lub OOO.

W ten sposób pozyskaliśmy wzór dla N rzutów kostką:

g(N) = g(N-1) + g(N-2)

g(5)=16

g(6)=26

g(7)=42

g(8)=68

g(9)=110

g(10)=178.

Zatem g(10) = 178, a ponieważ wszystkich możliwości uzyskania ciągów złożonych z R i O jest 2^10 = 1024, czyli p = 178/1024. Z tego wynika, że szukane prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej trzech orłów bądź reszek pod rząd wynosi 1 - p = 1 - (178/1024) = 846/1024, czyli prawie 83%.